[МУЗЫКА] [МУЗЫКА] Итак, для нашей матричной экспоненты мы получили следующее выражение: e в степени st = Q в -1, здесь e в степени t √a² + d², 0, 0. e в степени −t √a² + d². Это наше собственное значение. Здесь Q. И для Q выражение (1 √a² + d² − d/a запятая. Здесь нам все равно, где минус писать. Просто можно умножить собственный вектор на произвольное число для удобства. Просто чтобы минус перед длинным выражением не писать, я напишу у единицы. Это будет одно и то же. Всё, что я ни напишу в матрице Q, какой множитель, он перекачается, скомпенсируется соответственно матрицей Q в − 1, которая находится стандартным образом, который мы с вами знаем. [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] Просто элементарно по минорам можно идти к Q в −1. Итак, в этом смысле оператор эволюции найден, чтобы решить эволюционную задачу, нужно взять начальный вектор и помножить на него вот эту матрицу. Это будет решение нашей задачи Коши, то есть задачи с начальными условиями. Давайте все-таки получим некую качественную информацию. Эта, как я уже говорил, система уравнений не чистая какая-то фантазия формальная, она описывает разбегания траекторий в гиперболическом течении. Посмотрим, как ведет себя оператор эволюции в нашей матрице на больших временах. На больших временах эта экспонента пренебрежима. Поэтому матрицы эволюции: Итак, t стремится к ∞. Просто большое, не надо понимать, как бесконечная бесконечность. Тогда [БЕЗ_ЗВУКА] оператор эволюции имеет следующий простой вид. Значит, вот экспонента убывает, ею пренебрегаем, то есть ставим здесь 0. Эту экспоненту выносим на улицу. [БЕЗ_ЗВУКА] И здесь получаем, значит, наше Q в −1. (1, 0, 0, 0) Q. Я не буду явно теперь это произведение вычислять. Единственное, что меня сейчас будет интересовать, что, вообще говоря, если посмотреть на наш результат, на эту диагональную матрицу. Что можно сказать? Что у нас есть одно направление, вдоль которого, происходит растяжение и одно направление, вдоль которого, происходит сжатие. Я тогда в предыдущей части не очень аккуратно нарисовал это гиперболическое течение. Давайте я его перерисую чуть более аккуратно. Итак, у нас есть условное это направление-растяжение, это направление-сжатие и течение устроено так. Значит, вот так вот. То есть сюда у меня растягивается, а сюда сжимается. Вот и поставим такой вопрос. Если мы начальный вектор выбираем произвольно, случайно, то с какой вероятностью мы получим экспоненциально растущий на больших временах вектор? Если совсем наивно рассуждать. Есть два направления: одно растягивающее, другое — сжимающее. Поэтому кажется, что половина направления растягивается, половина сжимается. Но понятно, что это не так. Для того чтобы ответить на этот вопрос, это то же самое, что ответить на вопрос: с какой вероятностью вектор на плоскости не имеет компоненты вдоль растягивающего направления? Потому что даже если он имеют очень малую составляющую вдоль растягивающего направления, эта составляющая будет экспоненциально расти и на больших временах перебьет все остальное. В этом смысле, если t велико, то найти вероятность малого вектора, она экспоненциально мала. Это нужно добиться того, чтобы компонента вектора вдоль сжимающего направления, чтобы вектор практически весь лежал вдоль сжимающего направления с экспоненциальной точностью. Когда время t растет, то соответственно точность должна быть все больше. И поэтому на больших временах с вероятностью 1 с точки зрения выбора начального условия, у нас будет экспоненциальный рост вектора x. Если мы представляем себе этот вектор как начальное расстояние между двумя точками, то с вероятностью 1 эти точки будут экспоненциально разбегаться. Значит, такого рода поведение характерно не только для такой гидродинамической постановки. Можно говорить то, что экспоненциальное разбегание траектории — это общее свойство так называемых стохастических систем. В каком-то смысле с физической точки зрения это есть их определение. Что если систему мы называем хаотической или стохастической, это означает то, что возьмем два близких начальных условия, выпустим фазовые траектории и эти фазовые траектории на больших временах будут экспоненциально расходиться. Хорошо, теперь рассмотрим совсем другой пример, другую систему, в которой возникает некое новое качество. Может быть даже более простая формальная система, чем эта. Но качество в ней следующее, что матрица M, которая была введена раньше, недиагонализуема. Что значит недиагонализуема? Я напоминаю элементарные сведения из линейной алгебры. Матрица может быть приведена либо к диагональному виду то есть тогда после преобразования подобия, после которого, только на диагонали стоят любые элементы. А вне диагонали стоят нули. Либо матрица представляет собой блочную диагональную и эти блоки являются жадановыми клетками. Жаданова клетка возникает тогда, когда есть некоторое вырождение, с точки зрения физики. Конкретно вырождением мы называем совпадение собственных чисел. Не то, чтобы всегда, но довольно часто. И в физических системах это не такая большая экзотика. Рассмотрим элементарный пример системы уравнений химической кинетики. У нас есть три вещества. Давайте я их обозначу: A, B и C. Это концентрации реагентов. Значит, вещество A распадается, λ — это темп распада в единицу времени. И распадается оно на B, [БЕЗ_ЗВУКА] вещество B, которое в свою очередь тоже распадается, сколько получилось, с тем же самым темпом. Темп — это λ, это количество событий в единицу времени. Здесь количество распадов молекулы в единицу времени. Здесь, соответственно, они распались, образовалось B. Это приход. Теперь B само распадается, пусть с тем же самым темпом. И в конце концов, продуктом распада B является вещество C. Вот такая вот система уравнений. Давайте запишем ее в матричном виде. [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] Вот такая вот матрица. Все это умножить на вектор A, B, C. Так, в следующей части мы применим наш аппарат к анализу этой простой системы. [МУЗЫКА] [МУЗЫКА]
