[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] Итак,
для нашей матричной экспоненты мы получили следующее выражение:
e в степени st = Q в -1,
здесь e в степени t √a² + d², 0, 0.
e в степени −t √a² + d².
Это наше собственное значение.
Здесь Q.
И для Q выражение
(1 √a² + d²
− d/a запятая.
Здесь нам все равно, где минус писать.
Просто можно умножить собственный вектор на произвольное число для удобства.
Просто чтобы минус перед длинным выражением не писать, я напишу у единицы.
Это будет одно и то же.
Всё, что я ни напишу в матрице Q,
какой множитель, он перекачается,
скомпенсируется соответственно матрицей Q в − 1,
которая находится стандартным образом,
который мы с вами знаем.
[БЕЗ_ЗВУКА]
[БЕЗ_ЗВУКА] Просто
элементарно по минорам можно идти к Q в −1.
Итак, в этом смысле оператор эволюции найден, чтобы решить эволюционную задачу,
нужно взять начальный вектор и помножить на него вот эту матрицу.
Это будет решение нашей задачи Коши, то есть задачи с начальными условиями.
Давайте все-таки получим некую качественную информацию.
Эта, как я уже говорил, система уравнений
не чистая какая-то фантазия формальная,
она описывает разбегания траекторий в гиперболическом течении.
Посмотрим, как ведет себя оператор эволюции в нашей матрице на больших
временах.
На больших временах эта экспонента пренебрежима.
Поэтому матрицы эволюции: Итак, t стремится к ∞.
Просто большое, не надо понимать, как бесконечная бесконечность.
Тогда [БЕЗ_ЗВУКА]
оператор эволюции имеет следующий простой вид.
Значит, вот экспонента убывает, ею пренебрегаем, то есть ставим здесь 0.
Эту экспоненту выносим на улицу.
[БЕЗ_ЗВУКА] И здесь
получаем, значит, наше Q в −1.
(1, 0, 0, 0) Q.
Я не буду явно теперь это произведение вычислять.
Единственное, что меня сейчас
будет интересовать, что, вообще говоря,
если посмотреть на наш результат, на эту диагональную матрицу.
Что можно сказать?
Что у нас есть одно направление, вдоль которого,
происходит растяжение и одно направление, вдоль которого, происходит сжатие.
Я тогда в предыдущей части не очень аккуратно нарисовал это
гиперболическое течение.
Давайте я его перерисую чуть более аккуратно.
Итак, у нас есть условное это направление-растяжение,
это направление-сжатие и течение устроено так.
Значит, вот
так вот.
То есть сюда у меня растягивается, а сюда сжимается.
Вот и поставим такой вопрос.
Если мы начальный вектор выбираем произвольно, случайно,
то с какой вероятностью мы получим экспоненциально
растущий на больших временах вектор?
Если совсем наивно рассуждать.
Есть два направления: одно растягивающее, другое — сжимающее.
Поэтому кажется, что половина направления растягивается, половина сжимается.
Но понятно, что это не так.
Для того чтобы ответить на этот вопрос, это то же самое,
что ответить на вопрос: с какой вероятностью вектор на
плоскости не имеет компоненты вдоль растягивающего направления?
Потому что даже если он имеют очень малую составляющую вдоль растягивающего
направления, эта составляющая будет экспоненциально
расти и на больших временах перебьет все остальное.
В этом смысле, если t велико, то найти вероятность
малого вектора, она экспоненциально мала.
Это нужно добиться того, чтобы компонента вектора вдоль
сжимающего направления, чтобы вектор практически весь лежал вдоль
сжимающего направления с экспоненциальной точностью.
Когда время t растет, то соответственно точность должна быть все больше.
И поэтому на больших временах с вероятностью 1 с точки зрения
выбора начального условия,
у нас будет экспоненциальный рост вектора x.
Если мы представляем себе этот вектор как начальное расстояние между двумя точками,
то с вероятностью 1 эти точки будут экспоненциально разбегаться.
Значит, такого рода поведение характерно
не только для такой гидродинамической постановки.
Можно говорить то, что экспоненциальное разбегание траектории
— это общее свойство так называемых стохастических систем.
В каком-то смысле с физической точки зрения это есть их определение.
Что если систему мы называем хаотической или стохастической,
это означает то, что возьмем два близких начальных условия,
выпустим фазовые траектории и эти фазовые траектории на больших временах будут
экспоненциально расходиться.
Хорошо, теперь рассмотрим совсем другой пример,
другую систему, в которой возникает некое новое качество.
Может быть даже более простая формальная система, чем эта.
Но качество в ней следующее, что матрица M,
которая была введена раньше, недиагонализуема.
Что значит недиагонализуема?
Я напоминаю элементарные сведения из линейной алгебры.
Матрица может быть приведена либо к диагональному виду то есть тогда после
преобразования подобия, после которого,
только на диагонали стоят любые элементы.
А вне диагонали стоят нули.
Либо матрица представляет собой блочную
диагональную и эти блоки являются жадановыми клетками.
Жаданова клетка возникает тогда,
когда есть некоторое вырождение, с точки зрения физики.
Конкретно вырождением мы называем совпадение собственных чисел.
Не то, чтобы всегда, но довольно часто.
И в физических системах это не такая большая экзотика.
Рассмотрим элементарный пример системы уравнений химической кинетики.
У нас есть три вещества.
Давайте я их обозначу: A, B и C.
Это концентрации реагентов.
Значит, вещество A распадается,
λ — это темп распада в единицу времени.
И распадается оно на B,
[БЕЗ_ЗВУКА] вещество B,
которое в свою очередь тоже распадается, сколько
получилось, с тем же самым темпом.
Темп — это λ, это количество событий в единицу времени.
Здесь количество распадов молекулы в единицу времени.
Здесь, соответственно, они распались, образовалось B.
Это приход.
Теперь B само распадается, пусть с тем же самым темпом.
И в конце концов,
продуктом распада B является вещество C.
Вот такая вот система уравнений.
Давайте запишем
ее в матричном виде.
[БЕЗ_ЗВУКА]
[БЕЗ_ЗВУКА]
[БЕЗ_ЗВУКА] Вот
такая вот матрица.
Все это умножить на вектор A, B, C.
Так, в следующей части
мы применим наш аппарат к анализу этой простой системы.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]
