[МУЗЫКА] Вот,
а теперь, наконец, перейдем к задаче об определении
сопротивления между двумя разными узлами на сетке.
Сетка сопротивлений.
[БЕЗ_ЗВУКА] Значит,
еще раз, имеется сетка сопротивлений,
сопротивление между двумя узлами
это R, сопротивление вот такого звена это R.
И мы хотим найти, вообще говоря,
сопротивление между двумя произвольно заданными узлами сетки.
Главное — выбрать правильные переменные, и в этой задаче я предлагаю в качестве
переменных использовать электростатический потенциал в точках x и y.
Будем считать, что для простоты размер сетки равен единице,
чтобы с лишними буквами жизнь себе не усложнять, тогда x и y,
они принимают целочисленные значения.
И вот на этот потенциал нужно написать уравнение и его решить.
Ну, поехали.
Какое уравнение?
Естественно, это уравнения Кирхгофа, которые говорят,
что ток у нас в каждом узле сохраняется.
Давайте мы теперь напишем, что мы ожидаем для тока,
который в каком-то узле собирается.
Значит, это будет уравнение в левой части и в правой части.
Уравнение будет длинное.
Давайте начнем с левой части.
Вот я нахожусь здесь, в точке x, y.
И я смотрю, какой ток у меня протекает по 4-м ребрам и я его суммирую.
Значит, нужно, скажем, вот это ребро, да?
Здесь x меняется с x до x + 1, поэтому,
чтобы посчитать разность потенциалов вот здесь,
я пишу x + 1 y − вот здесь и так по всем четырем ребрам.
Поэтому в результате получается такое выражение: φ от x − 1, y.
Это я работал этот узел и этот узел,
потом я добавляю узлы по вертикали.
Я оставляю x, меняю y вначале на + 1,
потом на −
1 и вычитаю
4 значения потенциала в точке x, y.
И это у меня тот ток,
который перетекает, втекает в этот узел по ребрам.
Теперь как ставится задача?
Задача ставится так, что в точку, есть две выделенные точки.
Есть точка, ну, скажем, пусть эта точка будет 0, 0,
куда приделана
приделан один контактометр И имеется точка,
скажем, X, Y, куда приделан второй контактометр.
Соответственно, вот этот вот ток, подходящий к вершине,
он равен 0 по всем узлам, кроме вот этих двух, значит,
я должен дописать сюда, в правую часть выражения,
вклад от этих двух точек, где вот этот вот ток не равен 0.
и я напишу так.
Это есть I * R, слева стоит потенциал, поделенный на R, дает мне ток,
мне удобней написать сюда, и есть два вклада, первый говорит,
что вот есть ток отсюда, и это есть дельта-функция, которая говорит,
что она отлична от нуля, точнее, символ Кронекера, x = X,
а y = Y.
И минус вот отсюда,
символ Кронекера говорит, что x = 0 и y = 0.
Вот так выглядит исходное уравнение, которое требуется решить.
В принципе, если я его смогу решить,
то я найду распределение потенциала вообще по всей сетке.
Это такое дискретное уравнение.
И будем его решать.
Ну, понятно, что у нас тут все узлы зацеплены, и просто так не решишь,
но можно воспользоваться аналогией с предыдущей задачей,
если сюда посмотреть, то вы с легкостью обнаружите,
что здесь написано такое дискретное дискретный оператор Лапласа,
который обобщает вторую производную, на случай функций, заданных на решетке.
Поэтому теперь я говорю, что раз так, то я покажу,
перехожу в представление Фурье, и смотрите,
что у меня происходит с левой частью.
Значит, я перешел представление Фурье,
ввел букву Φ, то есть я теперь написал,
что у меня давайте я его еще раз повторю: я написал, что Φ в точке x и y
есть интеграл, по зона Бриллюэна, давайте посмотрим, как устроена зона Бриллюэна.
Давайте посмотрим.
Значит, теперь у нас двумерная задача, поэтому у меня имеются qx и qy,
это qx, это qy, и зона Бриллюэна,
размер ячейки 1, зона Бриллюэна это такой квадрат,
вот это вот π это π, это − π и это − π.
И я по такому квадрату должен проинтегрировать.
Так устроена зона Бриллюэна.
То есть я должен проинтегрировать по зоне Бриллюэна.
[БЕЗ_ЗВУКА] Здесь я напишу Φ от qx,
qy, сюда я должен написать e в степени i
qxX + i qyY
и здесь стоит d2q / 2π в
квадрате потому что двумерная задача.
Я так сделал, теперь я подставляю эту формулу сюда и смотрите, что получается.
Как и в предыдущей задачей с цепочкой спиннов, здесь x сдвигается на 1,
здесь на − 1, и это генерит нам следующие члены.
Значит, справа мы имеем e в степени из первого i qx вот отсюда.
Здесь сдвигается в другую сторону, получается e в степени − iqx.
Здесь то же самое, только в направлении y,
поэтому я должен написать e в степени i qy e в степени
− iqy, а отсюда − 4.
И все это на Φ от q.
Это левая часть.
Теперь что стало с правой частью.
С правой частью, смотрите, у нас здесь стоит символ Кронекера,
поэтому, когда я буду считать преобразование Фурье,
получится следующее: здесь будет стоять
I R на e
в степени − iqx
/ X, − iqyY,
отсюда будет просто − 1.
Так переписывается исходное уравнение
Кирхгофа в терминах Фурье-образа.
Ну тут надо немножко поработать и записать ответ
уже в более читаемом виде, он устроен так: Ф
(q) есть и это никуда не девается I R.
Здесь дополнительный минус есть, и здесь минус этот я сокращу,
1 − e в степени − iqx
* X − iqy * Y,
а в знаменателе вот отсюда
стоит 2 1 − cos qx, лучше 2,
наверное, написать, − cos qy.
Это то, что пришло из левой части.
Ну вот смотрите, после этой процедуры мы видим, что, в принципе,
мы знаем Фурье-образ потенциала.
То есть задача почти решена.
Имеется явное выражение, которое, в зависимости от того,
чему равен вот этот x и y, где мы ток снимаем, показывает нам Ф от q.
Ну, хорошо, это замечательно, но это еще не совсем то, что нам нужно,
а хочется нам посчитать Ф,
вернуться в реальное пространство и нам Ф везде не нужен,
нам нужно посчитать разность потенциалов между вот этой точкой и вот этой точкой.
И если это мы найдем, тогда мы найдем эффективность сопротивления сетки между
этими двумя точками.
Ну хорошо, поехали.
Считаем эффективное напряжение, как Ф 0,
0 − Ф от X,Y.
Здесь минус здесь.
Хорошо.
Что для этого надо сделать?
Вот написано выражение.
Нужно написать интеграл по зоне Бриллюэна с вот такими экспонентами и с Ф,
которое вот мы здесь уже нашли.
Теперь смотрите, когда мы пишем Ф 0, 0 в начале координат,
вот здесь тогда экспонента вообще не работает, потому что x y = 0.
Теперь, когда мы считаем в этом месте, у нас получается, где X и Y, они большие.
Значит, что у нас в результате получается?
Ну, давайте мы напишем предварительное выражение.
Имеется интеграл по зоне Бриллюэна,
Ф (q)
1 −
eiqx *
X + iqy *
Y d2q
/ 2π2 [МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]
Фоминов Яков ВикторовичДоцент
Фейгельман Михаил ВикторовичГлавный научный сотрудник
Колоколов Игорь ВалентиновичПрофессор
Бурмистров Игорь СергеевичПрофессор
Скворцов Михаил АндреевичПрофессор
