[МУЗЫКА] Вот, а теперь, наконец, перейдем к задаче об определении сопротивления между двумя разными узлами на сетке. Сетка сопротивлений. [БЕЗ_ЗВУКА] Значит, еще раз, имеется сетка сопротивлений, сопротивление между двумя узлами это R, сопротивление вот такого звена это R. И мы хотим найти, вообще говоря, сопротивление между двумя произвольно заданными узлами сетки. Главное — выбрать правильные переменные, и в этой задаче я предлагаю в качестве переменных использовать электростатический потенциал в точках x и y. Будем считать, что для простоты размер сетки равен единице, чтобы с лишними буквами жизнь себе не усложнять, тогда x и y, они принимают целочисленные значения. И вот на этот потенциал нужно написать уравнение и его решить. Ну, поехали. Какое уравнение? Естественно, это уравнения Кирхгофа, которые говорят, что ток у нас в каждом узле сохраняется. Давайте мы теперь напишем, что мы ожидаем для тока, который в каком-то узле собирается. Значит, это будет уравнение в левой части и в правой части. Уравнение будет длинное. Давайте начнем с левой части. Вот я нахожусь здесь, в точке x, y. И я смотрю, какой ток у меня протекает по 4-м ребрам и я его суммирую. Значит, нужно, скажем, вот это ребро, да? Здесь x меняется с x до x + 1, поэтому, чтобы посчитать разность потенциалов вот здесь, я пишу x + 1 y − вот здесь и так по всем четырем ребрам. Поэтому в результате получается такое выражение: φ от x − 1, y. Это я работал этот узел и этот узел, потом я добавляю узлы по вертикали. Я оставляю x, меняю y вначале на + 1, потом на − 1 и вычитаю 4 значения потенциала в точке x, y. И это у меня тот ток, который перетекает, втекает в этот узел по ребрам. Теперь как ставится задача? Задача ставится так, что в точку, есть две выделенные точки. Есть точка, ну, скажем, пусть эта точка будет 0, 0, куда приделана приделан один контактометр И имеется точка, скажем, X, Y, куда приделан второй контактометр. Соответственно, вот этот вот ток, подходящий к вершине, он равен 0 по всем узлам, кроме вот этих двух, значит, я должен дописать сюда, в правую часть выражения, вклад от этих двух точек, где вот этот вот ток не равен 0. и я напишу так. Это есть I * R, слева стоит потенциал, поделенный на R, дает мне ток, мне удобней написать сюда, и есть два вклада, первый говорит, что вот есть ток отсюда, и это есть дельта-функция, которая говорит, что она отлична от нуля, точнее, символ Кронекера, x = X, а y = Y. И минус вот отсюда, символ Кронекера говорит, что x = 0 и y = 0. Вот так выглядит исходное уравнение, которое требуется решить. В принципе, если я его смогу решить, то я найду распределение потенциала вообще по всей сетке. Это такое дискретное уравнение. И будем его решать. Ну, понятно, что у нас тут все узлы зацеплены, и просто так не решишь, но можно воспользоваться аналогией с предыдущей задачей, если сюда посмотреть, то вы с легкостью обнаружите, что здесь написано такое дискретное дискретный оператор Лапласа, который обобщает вторую производную, на случай функций, заданных на решетке. Поэтому теперь я говорю, что раз так, то я покажу, перехожу в представление Фурье, и смотрите, что у меня происходит с левой частью. Значит, я перешел представление Фурье, ввел букву Φ, то есть я теперь написал, что у меня давайте я его еще раз повторю: я написал, что Φ в точке x и y есть интеграл, по зона Бриллюэна, давайте посмотрим, как устроена зона Бриллюэна. Давайте посмотрим. Значит, теперь у нас двумерная задача, поэтому у меня имеются qx и qy, это qx, это qy, и зона Бриллюэна, размер ячейки 1, зона Бриллюэна это такой квадрат, вот это вот π это π, это − π и это − π. И я по такому квадрату должен проинтегрировать. Так устроена зона Бриллюэна. То есть я должен проинтегрировать по зоне Бриллюэна. [БЕЗ_ЗВУКА] Здесь я напишу Φ от qx, qy, сюда я должен написать e в степени i qxX + i qyY и здесь стоит d2q / 2π в квадрате потому что двумерная задача. Я так сделал, теперь я подставляю эту формулу сюда и смотрите, что получается. Как и в предыдущей задачей с цепочкой спиннов, здесь x сдвигается на 1, здесь на − 1, и это генерит нам следующие члены. Значит, справа мы имеем e в степени из первого i qx вот отсюда. Здесь сдвигается в другую сторону, получается e в степени − iqx. Здесь то же самое, только в направлении y, поэтому я должен написать e в степени i qy e в степени − iqy, а отсюда − 4. И все это на Φ от q. Это левая часть. Теперь что стало с правой частью. С правой частью, смотрите, у нас здесь стоит символ Кронекера, поэтому, когда я буду считать преобразование Фурье, получится следующее: здесь будет стоять I R на e в степени − iqx / X, − iqyY, отсюда будет просто − 1. Так переписывается исходное уравнение Кирхгофа в терминах Фурье-образа. Ну тут надо немножко поработать и записать ответ уже в более читаемом виде, он устроен так: Ф (q) есть и это никуда не девается I R. Здесь дополнительный минус есть, и здесь минус этот я сокращу, 1 − e в степени − iqx * X − iqy * Y, а в знаменателе вот отсюда стоит 2 1 − cos qx, лучше 2, наверное, написать, − cos qy. Это то, что пришло из левой части. Ну вот смотрите, после этой процедуры мы видим, что, в принципе, мы знаем Фурье-образ потенциала. То есть задача почти решена. Имеется явное выражение, которое, в зависимости от того, чему равен вот этот x и y, где мы ток снимаем, показывает нам Ф от q. Ну, хорошо, это замечательно, но это еще не совсем то, что нам нужно, а хочется нам посчитать Ф, вернуться в реальное пространство и нам Ф везде не нужен, нам нужно посчитать разность потенциалов между вот этой точкой и вот этой точкой. И если это мы найдем, тогда мы найдем эффективность сопротивления сетки между этими двумя точками. Ну хорошо, поехали. Считаем эффективное напряжение, как Ф 0, 0 − Ф от X,Y. Здесь минус здесь. Хорошо. Что для этого надо сделать? Вот написано выражение. Нужно написать интеграл по зоне Бриллюэна с вот такими экспонентами и с Ф, которое вот мы здесь уже нашли. Теперь смотрите, когда мы пишем Ф 0, 0 в начале координат, вот здесь тогда экспонента вообще не работает, потому что x y = 0. Теперь, когда мы считаем в этом месте, у нас получается, где X и Y, они большие. Значит, что у нас в результате получается? Ну, давайте мы напишем предварительное выражение. Имеется интеграл по зоне Бриллюэна, Ф (q) 1 − eiqx * X + iqy * Y d2q / 2π2 [МУЗЫКА] [МУЗЫКА]
