0:00
[МУЗЫКА] Давайте теперь
перейдем к последнему разделу нашей сегодняшней лекции.
Это случай,
когда мы рассматриваем теорию возмущений для вырожденного собственного значения.
Раздел IV.
Вырожденное собственное значение.
[БЕЗ_ЗВУКА]
[БЕЗ_ЗВУКА] Я
напоминаю, что это означает.
Это означает, что у нас есть собственное значение En(0) — невозмущенное.
И ему соответствует не одна функция, а несколько линейно независимых.
То есть это функции ψn(0), ψn'(0),
ψn''(0) и так далее.
Я специально не использую другую букву,
чтобы подчеркнуть, что это разные вариации одного и то же,
то есть они все соответствуют одному и тоже En(0).
Они между собой линейно независимы, различны в этом смысле.
И всего таких есть сколько-то штук.
Давайте мы обозначим это число буквой S.
Таких есть S-штук.
Тогда говорят, что у нас уровень имеет кратность вырождения S.
[БЕЗ_ЗВУКА]
[БЕЗ_ЗВУКА] Это означает,
что у нас есть некоторая свобода в выборе вот этих вот
функций невозмущенных внутри вырожденного уровня.
Потому что мы можем взять какую-нибудь линейную комбинацию.
Мы можем взять линейную комбинацию вот такого вида.
Cn(0) ψn (0)
+ Cn'(0) ψn'(0).
То же самое для Cn'' и так далее.
Я подчеркиваю,
что вот эти коэффициенты C здесь, они с ноликом написаны.
Это коэффициенты, которые пока вообще ничего не знают про возмущение.
Никакой малости не содержат.
Это коэффициенты, они могут быть порядка единицы.
Легко сообразить,
что если мы подействуем нашей матрицей на такую линейную комбинацию,
то она окажется тоже соответствующей нашему собственному значению.
Давайте я еще для большей наглядности напишу, что означает,
что у нас есть вот эти C-штук собственных векторов.
Это означает, что если наша матрица H0 действует на ψn(0),
то она выдает собственное значение En(0).
Здесь штриха нет.
Давайте красным или давайте раз уж
написал здесь штрих, то напишу его и здесь, чтобы все было правильно.
А также напишу то же самое без штриха.
[БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА]
Ну и то же самое с двумя штрихами и так далее.
Важно здесь то, что собственные векторы написаны разные,
а здесь буква стоит одна и та же En(0), En(0) — вот это и означает вырождение.
Если мы подействуем H0 на такую линейную комбинацию, то поскольку каждое слагаемое
выдает одно и то же собственное значение, его можно вынести за скобки.
А кажется,
что такая комбинация тоже соответствует этому же самому собственному значению.
Поэтому у нас есть такая свобода; мы можем вращать наши собственные векторы
внутри вырожденного собственного значения.
В принципе, мы можем их вращать как угодно.
Удобно, конечно, следить за тем, чтобы они оставались ортогональными.
И нормировать их.
Чтобы это была ортонормированная система, но даже при наложении
ограничения ортонормированности, здесь есть большая свобода.
Мы можем всю эту систему векторов, то есть если вы представите геометрически какую-то
ортонормированную систему, то вот как вы ее можете вращать в пространстве,
так и здесь мы можем их поворачивать.
Спрашивается, какую из всех этих возможных комбинаций нам
нужно выбрать в качестве исходных невозмущенных векторов.
Все ли равно или есть какие-то выделенные комбинации?
Оказывается, что есть выделенные комбинации и это первая задача,
которую надо решать, когда мы говорим про вырожденные собственные значения.
У нас есть такое важное понятие как правильные
собственные векторы
[БЕЗ_ЗВУКА]
[БЕЗ_ЗВУКА] нулевого приближения.
[БЕЗ_ЗВУКА]
[БЕЗ_ЗВУКА] Что это такое?
Вот это вот важное понятие, оказывается,
что среди всех возможных линейных комбинаций,
есть некоторая правильная, которая лучше, чем другие.
Чем они лучше?
Ответ состоит в том, что это такие собственные векторы, это такие комбинации,
которые слабо меняются под действием возмущения.
Сейчас я это напишу и это требует пояснений.
Сейчас поясню.
[БЕЗ_ЗВУКА]
[БЕЗ_ЗВУКА]
[БЕЗ_ЗВУКА] Вот.
Как пояснить, что значит,
что они слабо меняются под действием возмущения и как могло бы быть иначе?
Для этого можно рассмотреть такую физическую аналогию.
Давайте мы представим себе, что у нас есть ферромагнетик,
у которого есть некоторая намагниченность.
И этот ферромагнетик абсолютно изотропный.
То есть если мы нарисуем сферу,
то вектор намагниченности может смотреть куда угодно, например, вот сюда.
И так происходит до того, как мы приложили магнитное поле.
Давайте теперь представим себе, что мы приложили слабенькое магнитное поле.
Что мы ожидаем физически?
Мы ожидаем, что слабое магнитное поле может еще немножечко сильнее подмагнитить
этот ферромагнетик.
То есть намагниченность может немножечко увеличиться.
Вот это вот вектор намагниченности.
M0 — это затравочный вектор намагниченности,
а она может немножечко увеличиться.
Но, кроме того, если мы приложим магнитное поле, мы приложим его в
каком-то направлении и вектору уже станет не все равно, куда смотреть.
И давайте предположим, что мы приложили это поле по оси z вот так вот вертикально.
Тогда первое, что произойдет,
у нас сначала этот вектор повернется и сориентируется по магнитному полю,
а потом он еще может немножко увеличиться из-за того, что вещество подмагнитилось.
То есть у нас вот такой исходный вектор перейдет в вектор примерно вот такой.
Он будет смотреть сюда и может быть еще и немножечко вырастет
и это станет у нас M штрих — новый вектор намагниченности.
Так вот, обратите внимание, что изменение этого вектора, оно совершенно не мало.
То есть изменение этого вектора — это такой вот вектор.
И этот вектор не мал.
В нем есть две составляющие.
В нем есть, во-первых, поправка нулевого порядка,
которая вообще не мала, она просто связана с переориентацией.
А во-вторых, есть поправка, которая уже мала в меру магнитного поля.
На этом языке можно сказать так, что зная то направление,
куда потом будет приложено магнитное поле,
мы можем заранее сориентировать вектор в этом направлении.
И это будет правильная намагниченность нулевого приближения.
То есть зная заранее, в какую сторону будет направлено возмущение,
мы делаем правильную намагниченность нулевого приближения.
И если мы ее возьмем по оси z, то тогда поправка к
такой намагниченности в полном векторном смысле, уже будет мала.
Это будет вот этот дополнительный прирост,
связанный с малостью магнитного поля.
Вот точно так же и здесь.
Вы можете, поскольку это базисные вектора,
такую вот сумму можно рассматривать как некоторый вектор.
И смысл состоит в том, что зная, какое буде приложено возмущение,
нам нужно заранее сделать такие комбинации, которые правильно
направлены и которые уже будут слабо меняться под действием возмущения.
При том, что вот эти сами коэффициенты, они содержат индекс нолик.
Они не малы.
Точно так же, как и здесь.
Вот эта переориентация, это возмущение.
Вообще его неправильно рассматривать возмущением.
Это изменение, которое немалое.
Это просто мы подготовили всё для теории возмущений.
Точно так же здесь.
Мы некоторыми коэффициентами, которые не малы, которые порядка единицы,
подготавливаем нашу систему собственных векторов для того,
чтобы потом применять теорию возмущений.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]
Фоминов Яков ВикторовичДоцент
Фейгельман Михаил ВикторовичГлавный научный сотрудник
Колоколов Игорь ВалентиновичПрофессор
Бурмистров Игорь СергеевичПрофессор
Скворцов Михаил АндреевичПрофессор
