How can you put data to work for you? Specifically, how can numbers in a spreadsheet tell us about present and past business activities, and how can we use them to forecast the future? The answer is in building quantitative models, and this course is designed to help you understand the fundamentals of this critical, foundational, business skill. Through a series of short lectures, demonstrations, and assignments, you’ll learn the key ideas and process of quantitative modeling so that you can begin to create your own models for your own business or enterprise. By the end of this course, you will have seen a variety of practical commonly used quantitative models as well as the building blocks that will allow you to start structuring your own models. These building blocks will be put to use in the other courses in this Specialization.
1.6 Mathematical Functions
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Del curso dictado por University of Pennsylvania
Fundamentals of Quantitative Modeling
3621 calificaciones
University of Pennsylvania
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Curso 1 de 5 en SpecializationBusiness and Financial Modeling
De la lección
Module 1: Introduction to Models
In this module, you will learn how to define a model, and how models are commonly used. You’ll examine the central steps in the modeling process, the four key mathematical functions used in models, and the essential vocabulary used to describe models. By the end of this module, you’ll be able to identify the four most common types of models, and how and when they should be used. You’ll also be able to define and correctly use the key terms of modeling, giving you not only a foundation for further study, but also the ability to ask questions and participate in conversations about quantitative models.
Conoce a los instructores
Richard WatermanProfessor of Statistics
Statistics-Wharton School
Voy a terminar este módulo ahora que hemos estado expuestos a
diferentes tipos de modelos, el uso de modelos y el proceso de modelado.
Hemos estado expuestos a la terminología de los modelos.
I ahora quiero tomar un poco de tiempo para hablar acerca de
funciones matemáticas clave.
Con las que realmente necesitas estar familiarizado si vas a ser
exitoso haciendo modelos quantitativos.
Esto no es que tienes que tener un Doctorado en matemáticas en este punto
para ser un modelador útil.
Yo nunca pediría eso.
Pero, tienes que tener alguna facilidad
con eso, con lo que considero como las bases fundamentales de los modelos cuantitativos.
Así que aquí están las cuatro funciones con las que considero que debes sentirte cómodo.
Y voy a explicar, en la medida que examino cada una de las cuatro funciones
lo que es tan importante acerca de cada una.
Voy a tratar de caracterizarlos de una manera que se presta
a pensar en modelos cuantitativos.
Entonces, aquí estan las cuatro funciones.
Vamos a hablar acerca de las funciones lineales, esas son lineas rectas.
Vamos a hablar de las funciones potenciales,
cosas como las cuadráticas y las cúbicas.
Hablaremos de la función exponencial.
Y hablaremos de la función logarítmica,
la cuál es formalmente el inverso de la función exponencial.
Entonces, demos una mirada a estas funciones de manera sucesiva ahora.
Así, la función lineal es probablemente el nucleo de la base fundamental de todos los modelos.
Y la función lineal es simplemente un línea recta.
Entonces, ahora estás viendo una imagen de una función de línea recta.
Está caracterizada por dos números, b y
m, los cuáles son conocidos como la intersección y la pendiente.
Así, b es la altura de la línea
encima del orígen, eso es en x igual a 0 en el gráfico.
Y m, la pendiente de la línea.
Esto te dice que en la medida que x se mueve en una unidad, en cuánto se habrá incrementado el resultado de y.
De esta forma, aquí está la ecuación para la línea recta ahora.
Estamos escribiéndola como Y igual MX mas B.
X sería el dato para el modelo y
Y sería el resultado y los dos coheficientes
o parámetros son b, como dije, la intersección y m la pendiente.
Ahora, aquí estan las caracteríticas esenciales de una línea recta.
Esto es, que la pendiente es constante.
Dondequiera que veas en el gráfico, para cualquier valor de x,
la pendiente del gráfico, el valor es siempre el mismo, siempre es m.
Así, cuando x cambia en una unidad, y se incrementa en m unidades, independientemente del valor de x.
Ahora, tienes que preguntarte cuando estás modelando si
el supuesto tiene algún sentido o no.
Las funciones lineales son las funciones más simples que hay por allí.
Por lo tanto, se escogen frecuentemente para los modelos.
Esto no significa necesariamente que que serán correctas.
Así, para usar una función lineal hay que pensar cuidadosamente si
la implicación de esta pendiente constante de la línea es razonable en la práctica.
Pencemos en un ejemplo aquí y consideraremos si
la función lineal sería razonable.
Consideremos tu salario como la variabe y
sobre el tiempo en la medida que tu progresas en tu carrera.
Así, x sería el el tiempo, cuánto has estado trabajando e y es tu salario.
¿Tú piensa que un supuesto lineal va a ser razonable?
¿Y qué implicaría?
Entonces, una línea recta implica que la pendiente es constante.
Eso significa que por el cambio de cada unidad en x, el cambio de y es siempre el mismo.
Entonces, en el contexto del ejemplo, tu estás progresando en tu carrera y
tu salario incrementando, si usamos una línea recta para modelar eso,
x representa los años e y el salario.
Esto estaría implicando que el incremento de tu salario o
pago era el mismo cada año, a todo lo largo de tu carrera.
Y tendrías que preguntarte ¿ese parece un modelo realista para
lo que esta pasando?
Yo realmente no creo que este sería un modelo realista
porque pienso que al principio de tu carrera el salario tiende a incrementarse más rápido y
después, mucho mucho después en tu carrera las cosas tienden a nivelarse.
Y de esta forma, eso sería un tipo de relación que no necesariamente
se orientaría hacia una función lineal.
Entonces, no quiero golpear a las funciones lineales.
Yo no quiero decir que ellas no van a ser útiles.
En realidad ellas van a ser increiblemente útiles, pero
no podrías esta utilizando una sin hacerte la pregunta crítica.
¿Es razonable esperar que este proceso de negocio exhiba linealidad?
Y tú dices que piensas en la palabra razonable por la implicación.
¿La inclinación constante parece viable en esta situación?
Entonces, esa es la función lineal.
La siguiente función de la que vamos a hablar en la función potencial y
voy a mostrarles aquí una gráfica que muestra varias funciones potenciales.
Ahora, escribimos la función potencial como y igual x a la potencia m.
Y lo que significa esencialmente x a la potencia m es que multiplicamos x por si misma m veces.
Ejemplos con los que debes estar familiarizado son si decimos que m es igual a dos vamos
a tener na función cuadrática.
En realidad, si hacemos m igual a 1, cualquier número elevado a la 1 es igual a si mismo.
Entonces, podrías tener algo lineal como resultante de ésto.
Y puedes tener potencias fraccionadas de m.
Puedes tener m igual a 1/2
La cuál es conocida como raíz cuadrada.
También puedes tener potencias negativas de m.
M puede ser igual a menos uno por
ejemplo lo que te daría el gráfico de uno sobre x, la recíproca.
Por lo tanto, podemos tener varios valores de M y
ellos crearán diferentes versiones de la función potencial.
Entonces, les he mostrado las funciones potenciales.
Para varios valores de ellas, en realidad.
La que acabo de comentar en mi gráfico y
puedes ver el gráfico púrpura es m igual a 2.
Esa es una cuadrática.
Cuando m es igual a 1, ves el gráfico azul, que es en realidad un línea
recta porque como dije, cualquier número elevado a la poencia uno es él mismo.
Puedes ver m igual a 1/2 aquí.
Esa es la curva verde en la imagen.
Y esa se va incrementando, pero se incrementa a una tasa decreciente.
Y finalmente, aquí les he mostrado el gráfico con m igual a menos 1.
Esa es el tipo de línea coloreada en rosado.
Y ella muestra una asociación negativa, entonces lo que les estoy mostrando
aquí, en esta lámina es que las funciones potenciales son muy, muy flexibles.
Ellas pueden modelar todo tipo de relaciones fundamentales,
crecientes y decrecientes, crecientes a una tasa creciente.
Esa es la cuadrática.
Creciente a una tasa decreciente.
Esa es la función de raíz cuadrada.
Por lo tanto, una familia de funciones flexibles.
El lenguaje que utilizamos para la función potencial,
usualmente denominaremos x a la base y m al exponente.
Ahora, aquí vienen algunas características esenciales de la función potencial.
Tal como la caracterítica esencial de la línea recta era que su
pendiente era constante.
Hay algo constante en una función potencial, pero ya no es la pendiente,
ésto es lo que es.
Si x cambia en un 1%,
ya no hablamos de 1 unidad sino de un 1%,
entonces y va a cambiar aproximadamente n%.
De esta manera la n en el exponente de la función potencial está
relacionada con un cambio porcentual en x a un cambio porcentual en y.
Y es importante que la palabra aquí es yo me he aproximado aquí.
Es aproximarse.
Pero es una buena aproximación para pequeños cambios porcentuales.
Entonces, la característica clave de una función
potencial es que relaciona cambios porcentuales de x con cambios porcentuales en
y con la afirmación de que ese porcentaje de cambio es constante.
De esta forma, si yo tengo x igual a 100 y la incremento en un 1%,
entonces, y va a cambiar en exactamente el mismo porcentaje como si yo tuviera x igual
a 200 y luego incremento x en un 1% de 200.
Así, esta es una idea de este cambio porcentual, esta proporcionalidad,
siendo un cambio porcentual constante y el cambio porcentual de x e y es constante.
Entonces, hay un par de afirmaciones que acabo de poner en los fundamentos matemáticos en la parte inferior.
hay, de hecho, más fundamentos matemáticos que estos pero
estos son realmente importantes, unos acerca de la función potencial.
La x a la potencia m multiplicada por n es x a la m más n,
por lo tanto, el producto aquí corresponde a la suma de los exponentes.
Y x a la menos m es lo mismo que 1 sobre x a la potencia m y es por eso que somos
capaces de usar estas potencias negativas para capturar relaciones decrecientes.
Así que esta es la función potencial.
La tercera es la función exponencial.
Una vez más he dibujado un gráfico con varias versiones exponenciales de
la función exponencial aquí.
Todas ellas son funciones exponenciales pero difieren en su tasa de crecimiento y
algunas de ellas son crecientes y algunas de ellas son decrecientes.
Así que a menudo hablamos del crecimiento exponencial para un proceso creciente y
deterioro exponencial para un proceso decreciente.
La función exponencial puede capturar ambos procesos.
La manera de hacer ésto en una formula es: pensaremos en y = e a la potencia mx.
Entonces, en esta ecuación e está representando un número muy, muy especial.
Ese número es una constante matemática que es aproximadamente 2,71828.
Y de esta manera, en lugar de escribir este número, que técnicamente tiene un número infinito de
decimales, se asocia con esto que nosotros llamamos e.
Y así, esta es la base aquí y
estamos elevando el número a la potencia mx y porque esto es
diferente de la función potencial pensamos que es diferente, es donde está la x.
Aquí, está en el exponente y no en la base.
La función potencial x estaba en la base, ahora está arriba en el exponente.
Entonces, estamos dejando que el exponente varíe en esta ocasión.
Y lo que va a pasar es que en la medida que tengas valores diferentes para m,
entoces vamos a tener relaciones diferentes y
en la lámina de la función exponencial he colocado algunos valores diferentes para m.
La curva rosada es m = -1 eso es una disminución exponencial.
Si llevamos m a la -3 entonces decreceremos más rápidamente.
Pueden ver que la curva verde está debajo de la curva rosada,
si tenemos m = 0,5 tenemos una exponencial creciente aquí.
Y si tenemos m = 1, es la línea púrpura, ya que 1 es mayor que 0,5, donde esa es
la gráfica púrpura, estamos incrementado más rápido.
Entonces, esas son las funciones exponenciales y
eso fue lo que estuve usando para modelar la epidemia, si se acuerdan.
Ahora, algunas afirmaciones acerca o la característica esencial acerca de la función exponencial
es que la tasa de cambio de y es proporcional a la y en sí misma.
Y lo que eso te dice es que hay una interpretación en el fondo aquí
de m para valores pequeños, de nuevo, hay aproximaciones para estas interpretaciones.
Entonces, digamos que m es un número pequeño, por ejemplo entre -0,2 y 0,2 positivo.
Entonces, lo que vamos a obtener de la función exponencial es la idea de que para
cada 1 unidad de cambio en x,
va a haber aproximadamente 100 veces m% de cambio proporcial en y.
De esta forma, lo que estás viendo en la función exponencial, y
es diferente de la función potencial, es que ahora estamos hablando de cambio absoluto en
x asociándolo con el porcentaje de cambio proporcional en y.
Y estamos afirmando que eso es una constante.
Vuelve a la función potencial.
Estamos viendo un cambio porcentual en x,
relacionado con el cambio porcentual en y a través de la constante m.
Y si regresamos a la función lineal, estamos observando un cambio absoluto en x,
estando relacionado con el cambio absoluto en y a través de la constante m.
Entonces, estas funciones diferentes que estamos viendo, están capturando
la manera como estamos pensando acerca del cambio de x e y.
¿Estamos pensando en ellas cambiando en un sentido absoluto o
estamos pensando en ellas cambiando en un sentido relativo?
Entonces, regresando a esta interpretación aquí
de la constante m en la función exponencial.
Podemos decir, por ejemplo, si m = 0,05, entonces a una unidad de incremento en x se le asocia
con aproximadamente un 5% de incremento en y, y ese 5% es cósmico, no importa.
O el valor de x.
De esta manera, cada vez que x se incremente en 1 unidad y se incrementa aproximadamente en
otro 5%, un cambio proporcional o relativo.
Así, nuevamente la función exponencial nos permite entender
cómo los cambios absolutos en x están relacionados a los cambios relativos en y.
Una más para irnos y esa es la función logaritmica.
Esta es la transformación de la logaritmica.
Es probablemente la transformación más comunmente usada en modelado cuantitatico.
No estamos mirando los datos en bruto,
entonces, algunas veces estamos mirando la transformación logaritmica de los datos.
Y así es como luce una curva logaritmica.
Es una función creciente,
pero la característica es que es creciente a una tasa decreciente.
Por lo tanto, la fución logaritmica es extremadamente útil
cuando se trata de procesos de modelado que exhiben rendimientos a escalas decrecientes.
Entonces los rendimientos a escalas decrecientes dice que estamos poniendo más en el proceso.
Pero cada vez que ponemos algo extra en el proceso, sacas más provecho.
Pero no tanto como antes.
Y así, debes pensar en disminuir los rendimientos a escala como cuando has cocinado
una gra comida en Acción de Gracias.
Y se necesita limpiar.
Ahora, si tu estás haciendo la limpieza por ti mismo se tardas bastante tiempo.
Si tu tiene alguna persona que te ayude, será probablemente un poco más rápido.
Quizás, si tú tienes dos personas ayudándote va a ser aún más rápido.
Pero si incrementas hasta diez personas en la cocina, todos tratando de ayudarte a limpiar
esa comida, en algún punto la gente comienza a entrar en el camino de otra persona
y el beneficio de ese incremento de personas
viniendo a ayudarte a limpiar realmente decae bastante rápido.
Y entonces, esa es la idea de las dimensiones de los rendimientos a escalas decrecientes.
Desde el punto de vista de un proceso matemático pensamos en la función logarítmica
como creciente pero a una tasa decreciente.
Entonces, como dije anteriormente, todas estas funciones que estoy presentando tienen una
característica esencial.
Y la característica esencial de la función logaritmica es que un cambio proporcional
constante en x se asocia con el mismo cambio absoluto en y.
Entonces, observe cómo esa es la otra cara de la función exponencial.
La función exponencial tiene cambios absolutos en x,
que están relacionados a cambios relativos en y.
La función logaritmica lo hace en el sentido opuesto.
Estamos hablando acerca de cambios proporcionales en x asociados con el mismo
cambio absoluto en y.
De nuevo, cuando llegas a la etapa de hacer el modelado y
y piensas acerca del proceso de negocio, necesitas pensar acerca
de estas ideas en la medida que escoges tu modelo, una representación funcional del proceso.
¿Cómo piensas que las cosas están cambiando?
¿Piensas que es un cambio absoluto en x que está relacionado con un cambio absoluto de y
como una constante?
¿O piensas que es un cambio relativo en x a un cambio relativo en y?
¿Piensas que es un cambio relativo en x a un cambio absoluto en y
o un cambio absoluto en x a un cambio relativo en y?
Y aquí, en la función logaritmica, de nuevo, la característica esencial,
que la proporción constante que cambia en x se asocia con el mismo
cambio absoluto en y.
Si piensas que tu proceso de negocio se parece a eso,
entonces la función logarítmica es una buena candidata para el modelo.
Entonces, tomando la idea de que el cambio proporcional
en x se socia con el mismo cambio constante en y,
puedes ver cómo está funcionando eso con la función logaritmica.
Y en este ejemplo en particular,
Si trabajamos a nuestra manera hacia los pasos que te he mostrado aquí, todos los escalones
tienen exactamente la misma altura pero el ancho en el escalón es diferente.
De esta manera, partimos desde la parte inferior izquierda de este gráfico yendo desde
un octavo a un cuarto, eso es una duplicación.
Y cuando subimos un paso más arriba,
entonces duplicamos de nuevo.
Pasamos de un cuarto a un medio.
Cuando hacemos eso, la función sube,
Pero sube en exactamente la misma cantidad.
Luego, duplicamos de nuevo.
Vamos de 0,5 a 1.
La función logaritmica se incrementa
pero por exactamente la misma cantidad como cuando fuimos de un cuarto a un medio
y de un octavo a un cuarto.
Y finalmente, el último escalón en estas escaleras, aquí hay otra duplicación de 1 a 2
y puedes ver que la altura del escalón es exactamente la misma de nuevo.
Por lo tanto, la altura de los esalones es constante.
Es el ancho del escalón lo que está variando.
Y la que he elegido aquí es una duplicación desde cada período al siguiente.
Por lo tanto, si piensas que los cambiso relativos en
x se asocian con cambios absolutos en y,
el mismo cambio absoluto constante en y, entonces ya estás diciendo:
yo pienso que no hay ningún tipo de relación logarítmica en el fondo aquí.
Entonces, esta es nuestra función logarítmina.
Y aquí tenemos algunas afirmaciones acerca de la función logarítmica.
La forma como la escribimos es log, l-o-g, pero
hay un subíndice b que es llamado base del logaritmo.
Hay muchas bases por allí.
Las únicas, la única base que voy a estar usando en este
curso es la base muy especial, donde nosostros realmente tenemos la base como el número e
y a esa se le llama logaritmo natural.
Y elijo utilizar esa debido a que las interpretaciones
de modelos con logaritmos naturales tienden a ser un poco más fáciles.
estos cambios porcentuales de los cuáles yo estaba hablando antes.
Ahora bien, es el caso que el logaritmo es conocido anteriormente como el inverso,
deshace la función exponencial.
Y de ésta forma, el logaritmo de e a la x es igual a x en si misma
y e a la potencia logaritmo de x, es x también.
De esta forma puedes ver que el logaritmo y e están deshaciendo
y la función exponencial están deshaciendo el unos al otro.
La afirmación matemática esencial acerca
de estos logaritmos es que el logaritmo de un producto es igual a la suma del logaritmo.
Así, puedes ver que el logaritmo de x y es igual a el logaritmo de x más el logaritmo de y.
Por lo que se utliza a medida que uno va a través del análisis de esos modelos que tienen
términos logarítmicos y como dije antes en este curso, yo sólo estaré utilizando el logaritmo
natural y lo escribiremos como log(x) y ultimadamente olvidaremos el subíndice.
Entonces, esta es la función logarítmica.
Aquí están presentadas para uds.
En una lámina, las cuatro funciones matemáticas esenciales que estaremos utilizando.
la lineal, la exponencial, la logarítmina y la potencial.
Y puedes ver que estas, tomadas como un todo,
nos van a proveer de un conjunto muy flexible de curvas
para que podamos comenzar en el modelado cuantitativo de los procesos de negocio.
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