Donc, jusqu'ici dans cette première partie du cours nous avons étudié l'équation

de transport avec une vitesse de transport qui est une constante petit v.

Pour tester la robustesse de la méthode des caractéristiques

nous allons essayer de l'appliquer à une équation de transport plus

compliquée où la vitesse de transport a priori ne sera

plus une constante sera une fonction de t et de x,

mais en réalité nous allons considérer un exemple d'équation de transport

où la vitesse de transport dépend de la fonction inconnue elle-même.

Alors, le modèle le plus simple d'équation de transport de cette nature c'est

l'équation dite de Hopf, parfois appelée l'équation de Burgers sans viscosité.

Mais, je l’appellerai l'équation de Hopf.

C'est une équation qui a été étudiée par

le mathématicien Eberhard Hopf dans les années cinquante.

Donc l'équation de Hopf est une équation partielle du premier ordre qui va

être non linéaire, contrairement à l'équation de

transport libre que nous avons déjà rencontrée.

La fonction inconnue sera la fonction notée petit u, qui sera une

fonction qui a t et x associe le nombre réel u de t,

et de x. Ici, t et x sont tous les deux des réels.

Nous sommes en dimension d'espace égale à 1 et l'équation de Hopf

consiste à étudier d rond u sur d rond t

plus u d rond u sur d rond x égale à 0, équation qui est

posée pour x dans R pour t positif et pour laquelle on prescrit

la condition initiale u restreint à t égale

0 égale u initial où u initial est une fonction donnée.

Comme vous voyez il s'agit d'une équation de transport

pour la fonction inconnue petit u, mais la vitesse de

transport de cette fonction inconnue petit u, c'est la fonction petit u elle-même.

Voyons maintenant comment la méthode des

caractéristiques s'applique à une telle équation.

Donc, le principal résultat sur l'équation de Hopf que je voudrais décrire

pour lequel je ne vais pas donner

de démonstration, c'est le théorème suivant, théorème deux.

Donc, je me donne une condition initiale: u in de classe C1 bornée sur R.

Ce que j'entends par là est que la fonction u in est

bornée sur R et que cette dérivée est également bornée sur R.

D'autre part évidemment, c'est une fonction de

classe C1 donc elle est continuement dérivable sur R.

Donc, le premier résultat de ce théorème c'est que étant

donné une telle fonction u in dans C1b arbitraire de R, eh

bien, il va exister un temps grand T strictement positif et une

unique solution petit u qui sera de classe C1 sur l'intervalle

0, T croix R, fermé en 0, ouvert en grand T

sur le champs de l'équation de Hopf avec donnée initiale u in.

Maintenant, évidemment avec un tel énoncé, il est intéressant de se

demander si ce temps d'existence grand T est-ce qu'il est infini?

Ou est-ce qu'il est fini?

Si on pense au temps maximal d'existence. Et il y a un critère

très simple permettant de décider que le temps d'existence maximal va

être fini, qui est fourni par le point petit b du théorème.

C'est que s'il existe un intervalle ouvert grand I sur lequel la condition initiale

u in est strictement décroissante alors, nécessairement,

le temps maximal d'existence grand T sera fini.

Comment démontre-t-on ce théorème? Je vais

le dire en quelques mots.

On applique la méthode des caractéristiques.

Vous voyez que contrairement à ce qui se

passait dans le cas de l'équation de transport avec

une vitesse de transport constante, il est plus clair

a priori que les courbes caractéristiques seront des droites.

Maintenant une courbe caractéristique pour cette

équation est une courbe le long de laquelle la solution de

l'équation de Hopf restera constante. Mais comme la

solution de l'équation de Hopf c'est la vitesse de transport cette

vitesse de transport sera constante le long de chaque caractéristique.

Et donc, on obtient a posteriori que

les caractéristiques seront en réalité des droites.

Les courbes caractéristiques dans cet exemple-là sont encore des

droites, bien que a priori la vitesse de transport dépend de t et de x.

Ce qui se passe c'est simplement que cette vitesse

de transport comme c'est égale à la solution elle-même

et que la solution est constante le long des

courbes caractéristiques eh bien, ces courbes sont nécessairement des droites.

Mais la grande

différence avec l'équation de transport libre avec vitesse constante,

c'est que maintenant cette vitesse dépend du point de départ

de la caractéristique. Autrement dit dans le cas de

l'équation de transport à vitesse de transport constante

toutes les courbes caractéristiques, toutes les droites caractéristiques

sont parallèles, ce n'est plus le cas avec l'équation de Hopf puisque la direction de

la droite dépend de la condition initiale,

le point de départ de la courbe caractéristique.

Alors regardons ce qui se passe d'un point de vue géométrique et je vais tout

simplement appliquer le principe que nous avons découvert sur l'équation de

transport linéaire à vitesse constante et je vais regarder

comment le graphe de la condition initiale u in se déforme

au cours du temps sous l'action de l'équation de Hopf.

Alors, vous voyez que ici, sur le graphe le plus haut

sur ce transparent, vous avez la courbe y égale u in

de x qui est donc le graphe de la condition initiale.

Ce graphe de la condition initiale, vous voyez que je l'ai

choisie de telle sorte qu'elle soit

strictement décroissante sur un intervalle ouvert

non vide de R qui est la situation qui d'après le point

petit b du théorème va conduire à un temps maximal d'existence fini.

Donc, je prends sur ce graphe deux

points P in et Q in et je l'ai choisi de telle sorte que

l'ordonnée du point P in soit strictement supérieure à l'ordonnée du point Q in.

Maintenant, ce que nous dit la méthode des caractéristiques, c'est que chaque point

du graphe de u in se déplace le long de l'axe des x à une vitesse constante qui

est l'ordonnée de ce point, ordonnée qui ne change pas au cours du temps.

Donc, si nous retournons sur le graphe

de cette condition initiale et que nous le propageons à un

premier instant t1, que se passe-t-il? Eh bien le point

P in va avancer vers la droite à une vitesse

qui est son ordonnée et qui est donc

supérieure à la vitesse avec laquelle va se déplacer

le point Q in, puisque l'ordonnée du point Q

in est inférieure à l'ordonnée du point P in.

Donc la courbe se déforme en une courbe où la pente de

la partie décroissante de la courbe devient, en valeur absolue, plus grande

que sur la condition initiale.

Mais maintenant, comme la vitesse du point P de t est

supérieure à celle du point Q de t, eh bien, il va

exister un instant t2 strictement positif où le point P de t

va rattraper c'est-à-dire aura même abscisse que le point Q de t.

Si nous continuons la représentation géométrique

de la solution au-delà du temps t2, où le point P

de t rattrape le point Q de t, eh bien, nous voyons

que en temps fini, le graphe de la condition initiale u in

est déformé en une courbe qui n'est plus le graphe d'une fonction.

C'est la troisième courbe sur ce transparent qui vous montre certes

une courbe dans le plan X Y mais ce n'est plus le graphe

d'une fonction Y donnant f de x puisque vous voyez qu'il y a une

zone de l'espace des x où au dessous de chaque point x, vous aurez plusieurs

images vous aurez plusieurs points du graphe.

Ceci explique donc pourquoi une singularité

en temps fini est créée par l'équation de Hopf lorsque la condition

initiale u in est décroissante sur un intervalle ouvert non vide.

En réalité, ce phénomène traduit la différence entre

ce qui se passe pour les équations dérivées

partielles linéaires et ce qui se passe dans

le cas des équations dérivées partielles non linéaires.

En effet,

dans le cas de l'équation de transport linéaire

à vitesse constante si la donnée initiale est

de classe C1, la solution existe pour tout temps positif et elle reste de classe C1.

Autrement dit, la régularité, le fait d'être de classe C1, la régularité de la

condition initiale est préservée au cours du temps et est propagée pour tout temps.

Au contraire, dans le cas de l'équation

de Hopf, qui est une équation non linéaire même si la donnée initiale est de classe

C1 la solution peut cesser d'être de classe C1 au bout d'un temps fini et nous

avons vu un critère qui précise sous quelle

condition ce phénomène se produit, il suffit pour

cela que la condition initiale soit strictement décroissante

sur un intervalle ouvert, non vide de R.

Partie 2 L'équation de Hopf

Initiation à la théorie des distributions

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