Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real del movimiento en línea recta será el marco con el cual asociamos un primer significado y recapitulamos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Lineal. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx . Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Situación: la olla en el fuego. Representación gráfica
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Del curso dictado por Tecnológico de Monterrey
1.- El Cálculo - Modelo Lineal
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De la lección
Aplicamos: del Contexto Matemático de Nuevo al Contexto Real
Hablaremos ahora de la función lineal que hemos construido en el contexto matemático, y regresaremos con ella a nuevos contextos reales. De este modo vamos a practicar con la aplicación del conocimiento matemático.
Conoce a los instructores
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Me quedé yo pensando en el problema que estábamos resolviendo sobre la situación
real de poner nuestra olla de agua sobre la estufa sabiendo que la razón de cambio
de la temperatura con respecto al tiempo era de 6ºC por minuto.
Creo que es un momento muy conveniente para que ahora veamos la presentación
gráfica. Esta habilidad de transitar entre las
distintas representaciones, you se los he dicho con anterioridad, es algo que
consideramos que está en el corazón de aprender, de comprender a la matemática.
El software es un instrumento que nos va a permitir tener una imagen gráfica de lo
que hemos visto de manera algebraica. El software no sabe que estamos hablando
de temperatura ni de tiempo, lo que yo voy a introducirle en él es una expresión
algebraica, y una expresión como el software lo entiende, que sería con equis
y con yes. Entonces si tecleamos aquí y=38+6x
ahorita le estamos diciendo que hay un dato inicial de 38 y una razón de cambio
de 6 unidades de Y sobre unidades de X. Siendo esto nuestra temperatura aquí
vamos a tener la imagen del problema que estábamos atacando de manera algebraica.
La curva dice está fuera de la región y esto tiene que ser claro para nosotros.
Porque aquí tenemos una variación de la y que llega hasta el 6 si se fijan.
Podría estar aquí con la manita duro y darle hasta encontrar el 38, o bien puedo
utilizar una gran capacidad de este software para poder hacer un
acercamiento, bueno no, es un alejamiento en este caso.
O sea, es ver la imagen desde fuera. Sumer que se ofrece aquí me está diciendo
que puedo ver desde lejos la gráfica y ahí apareció.
Porque ahora la zona en donde se están graficando los valores tiene una
variación mayor, si se fijan. Realmente este objeto matemático viene
desde menos infinito y llega hasta más infinito.
Estos objetos no tienen ni principio ni fin.
Porque es el objeto matemático en sí. Siendo estrictos con la situación que
nosotros estábamos analizando diríamos que, bueno, le quitamos la parte
negativa. ¿Por qué?
Pues, porque esa parte, en donde la x es negativa, estaría representando el tiempo
negativo; un tiempo que nosotros podríamos decir pues es el pasado.
Y como you hemos dicho en otras ocasiones: you lo pasado, pasado, no me
interesa, como dice la canción. Yo podría aquí quitar esta parte, el
software no. No lo quita porque me está dando el
objeto matemático completo, en todo su potencial, digamos.
entonces ahorita con esa aclaración, podríamos nosotros tratar de ver lo que
sucedió cuando nos proponíamos ver el cambio de la temperatura de los 5 a los
5.5 minutos, si bien recuerdan, nos salió un número 3, un número 3 que sacamos al
multiplicar el 6 por 5 En el caso que tenemos aquí, ponernos en un valor del
tiempo de 5 minutos, sería como ponernos aquí donde tengo el cursor.
Tengo la ventaja de que con este graficador puedo elegir un punto de la
gráfica, you lo elegí, you lo puse en un punto.
Me voy a mover sobre la gráfica y voy a tratar de llegar al 5.
Entonces estoy viendo aquí un punto en donde el valor de la x es 5 y el valor de
la y es 68. Voy a bajar un poquito el eje para poder
ver esta zona y poder transmitirles algo que estuvimos haciendo algebraicamente y
que ahora tenéis su representación gráfica.
Aquí estoy a los 5 minutos y la temperatura es 68.
Déjenme tomar una imagen de esta pantalla para que podamos escribir sobre ella y
hacer claras las anotaciones. Tenemos ahorita este punto, este punto es
5,68. Porque ahorita ese 5 me estaba
representando (aquí se me cortó en la imagen, no pero eran) 5'68ºC de
temperatura. En aquel momento nos preguntamos cuánto
cambia la temperatura (voy a escribir la temperatura) de los 5 a los 5.5 minutos y
saber saber cuánto cambia de los 5 a los 5.5.
minutos nos llevó algebraicamente a hacer este cálculo del ΔY=6ΔX En este caso el
ΔX es punto 5. Porque la variación del tiempo de 5 a 5.5
es punto 5 minutos, medio minuto, y esto nos llevó al número 3.
Lo que yo quisiera ahora es que este número 3 que estamos viendo aquí, lo
viéramos en el gráfico. Y verlo en el gráfico sería atreverse a
ver una variación en la vertical de la recta que estamos viendo.
En otras palabras, sería como.... bueno a lo mejor no voy a respetar
ahorita la escala completamente, pero sería tanto como pensar si aquí me muevo
punto 5 (ahora vamos a ponerle aquí un punto 5) de minuto, sería como pensar en
medio cuadrito, ¿cuántos cuadritos tendría yo que subir aquí para llegar a
la recta? Y ahí es en donde más o menos se puede
ver que este segmento vertical mide 3 cuadritos.
O sea, medio cuadrito en la horizontal, 3 cuadritos en la vertical.
Si hiciéramos esto en otro lugar, no nada más en el 5, en otro lugar, las cosas
tienen que ser iguales. En este caso porque se trata del modelo
lineal. O sea, si yo me fuera ahorita en el
software, vean ahorita estábamos en el 5. Podría ponerme en el 7.5 Ahorita que me
puse en el 7.5, si yo tomara ahorita otra vez la imagen, qué va a pasar, a lo mejor
aquí se los puedo señalar bien con el cursor, así como la flecha ahí se ve un
cuadrito hacia la derecha. Y para llegar a la recta tendría que
subir 1, 2 y 3, no 6 cuadritos, perdonen, porque me moví un cuadrito acá.
O sea hice la variación de una unidad. Hace ratito lo estábamos haciendo con
media unidad, acá debería decir medio cuadrito hacia la derecha, y entonces
serían 1, 2, 3 cuadritos hacia arriba. Esto se va a cumplir también en el X=7.5
y en cualquier valor de X en toda la variación de aquí de X que podamos tener.
O sea, esto es algo que es característico de la recta.
La recta cumple con que tiene esa pendiente que ustedes estudiaron en
geometría analítica. Nosotros ahorita esa pendiente la estamos
asociando con su razón de cambio. Entonces independientemente del lugar
donde yo me ponga, siempre habrá aquí un cambio de x, un correspondiente cambio de
y y el cambio de y sobre el cambio de x siempre va a ser el número 3, perdón, el
número 6. Me quedé pensando en la situación del 3,
ése es el número 6. ¿De dónde sale ese número 6?
Quería conectarlo con lo que tenemos acá en la representación algebraica.
Si bien recuerdan you hicimos con otro software también una relación entre lo
que es la razón de cambio y la derivada. Entonces ese número 6, como el que
estamos viendo ahí como en ΔY y ΔX es el número 6 que sacaríamos si decimos aquí
cuál es la derivada y prima de la función 38+6X.
La respuesta es justamente el coeficiente que está detrás de la x.
Entonces estamos conectando la derivada con la inclinación de esta recta.
Una inclinación que es la misma en cualquier lugar de la recta, cosa que no
va a pasar en toda curva, cosa que no va a pasar en cualquier fenómeno, en
cualquier contexto real. En este contexto que estuvimos analizando
del cambio de la temperatura con respecto al tiempo, ciertamente tuvimos como dato
que la razón de cambio de la temperatura con respecto al tiempo era constante.
Por eso en nuestro gráfico, ahorita podríamos verlo aquí en el graficador
tendríamos esta recta que estamos viendo con la misma inclinación siempre.
Entonces si yo tomara la recta en cualquier lugar de ella, en cualquiera y
en ese lugar me acercara y me acercara y me acercara, siempre voy a ver la misma
relación. Vean ustedes ahorita, moviendo el cursor
un poco y tratando de atinarle a uno de los vértices del pequeño cuadrado de la
cuadrícula, moverse un segmentito de un lado del cuadradito, implicaría aquí
subirse 6 cuadritos para llegar al punto de la recta.
Y esto no es nada más válido aquí, es válido aquí también.
Vean ustedes que aún y cuando yo hago estos acercamientos, hay acercamientos...
o sea la forma de la recta no cambia, se ve lo mismo.
Lo único que está afectándose es los valores númericos que tenemos, la zona en
donde la estamos viendo es una zona más cercana, vean ahorita dónde andamos.
Entre los 7.8968 y los 7.897 del tiempo, o de la x.
Y la inclinación de la recta es justamente la misma.
Eso es lo que yo quería mostrarles con este graficador en esta ocasión.
Porque quería resaltar con ustedes que aquel numerito que representa nuestra
razón de cambio es un numerito que está allí escondido, digamos, o presente de
cierta forma en la recta pero es un número que, para verlo, uno necesita
pensar en esas razones de cambio. O sea, cuánto es lo vertical que tuve que
subir en la recta, sobre cuánto es lo horizontal que avancé en la recta.
Esa razón de cambio es justamente el objeto matemático que en cálculo nos
permitirá estudiar el comportamiento de diversas magnitudes.
Hoy es el cambio uniforme. O sea, hoy es un cambio en donde la razón
de cambio se mantiene constante. La próxima semana you no será así, la
próxima semana vamos a arribar a otras situaciones en donde querremos estudiar
el cambio de una magnitud cuando sabemos que esa variación you no va a ser una
variación uniforme, you no va a tener una razón de cambio constante.
Sin embargo, ahí tendremos la ocasión de ver como el modelo lineal es justamente
el modelo que nos permitirá adentrarnos al estudio de ese otro tipo de
magnitudes. En esta ocasión los dejo con esta
representación gráfica de la situación que habíamos analizado you
algebraicamente. Los invito en el siguiente de nuestros
vídeos, donde retomaremos otra vez, otro contexto real, pero llegaremos a él desde
la matemática ahora sí. O sea, con nuestras variables X y Y, con
nuestro modelo lineal, y su razón de cambio o derivada que es constante.
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